Dans cet article, je vais vous proposer des expériences à faire pour visualiser des figures que l’on obtient lorsqu’on effectue certaines constructions en géométrie projective. Il faut, pour effectuer ces expériences, disposer d’un local que l’on puisse assombrir ou alors les faire de nuit. Vous aurez besoin d’une table, de feuilles de papier cartonné ou de carton que vous devez pouvoir faire tenir verticalement sur la table et d’une source de lumière asset petite, plus près d’une ampoule de lampe de poche que d’une ampoule économique. (Une bougie peut tout-à-fait faire l’affaire.) Vous devez pouvoir poser cette source de lumière sur la table à des hauteurs différentes.
Découpez un triangle dans une des feuilles cartonnées. Fixez la feuille verticalement sur la table et allumez votre source de lumière posée assez haut derrière votre feuille, plus haut que le sommet le plus haut du triangle. Observez la « tache » de lumière qui se fait sur la table.
Vous abaissez progressivement la source de lumière et vous regardez comment se transforme le triangle de lumière sur la table. Lorsque la hauteur de la source de lumière est exactement la même que la hauteur du sommet le plus haut du triangle, c’est une situation à observer avec attention. Même si vous prolongez votre table avec une deuxième table, la tache de lumière sera plus longue que la table. Vous voyez bien la base de votre triangle et ses deux côtés. Vous pourrez essayer d’imaginer le sommet en prolongeant les côtés. Si vos hauteurs sont justes, la prolongation sera très, très … très grande car ces côtés sont parallèles, le sommet se trouvera à l’infini.
Si vous continuez à abaisser votre source de lumière, vous pouvez encore voir la base de l’image de votre triangle et le début des côtés. Il ne se rejoignent plus devant la feuille cartonnée! A ce stade votre pensée devient plus puissante que la lumière. Jamais, dans ce cas là, elle ne pourra projeter sur la table l’image de ce sommet alors que votre pensée peut le faire. Prolongez par le dessin les côtés du triangle projeté. Ils vont alors se couper derrière la feuille cartonnée et la source de lumière. Si vous imaginez la droite qui passe du sommet du triangle découpé à la source de lumière et que vous la prolongez, elle va vers le même point derrière la feuille. C’est là que si situe le sommet de l’image du triangle. Cette image devient un triangle très particulier. La partie arrière ne sera là que par la force de votre pensée, elle n’apparaîtra pas physiquement comme tache de lumière sur la table.
Vous pouvez recommencer cette expérience en ayant découpé un disque dans une feuille cartonnée à la place d’un triangle. Si au début votre source de lumière est assez haute, vous aurez une « tache » de lumière qui sera une ellipse. Si vous l’abaissez, à un moment votre « tache » de lumière sera circulaire et si vous l’abaissez encore vous allez obtenir à nouveau une ellipse mais qui sera orientée différemment d’au début.
Puis il sera intéressant de s’arrêter quelques instants sur le cas où la hauteur de la source de lumière sera la même que le point le plus haut de votre disque. La « tache » là ne sera plus une ellipse, le point extrême ne sera plus sur la table, même si vous la prolongez avec une autre! Il sera, comme dans le cas correspondant au triangle, envoyé à l’infini! La tache de lumière vous dessinera une forme qu’on appelle parabole.
Si vous descendez encore votre source de lumière, la partie inférieure de votre disque vous donnera une tache de lumière qui ira en s’élargissant et dont les bords extrêmes tendront vers deux droites qui, si vous les traciez, se couperaient sur la table à la verticale de votre source de lumière. Si vous projetiez par la pensée la partie supérieure du disque, comme vous l’avez fait pour le sommet du triangle dans le cas correspondant, apparaîtrait alors de l’autre côté de la feuille cartonnée et de la source de lumière, sur la table, une image imaginaire qui aurait la même forme que la tache de lumière que vous voyez et dont les bords extrêmes tendraient vers les prolongations des droites décrites plus haut. Ces deux formes ensemble sont ce qu’on appelle en géométrie une hyperbole.
Je vous laisse à vos expériences, multipliez les, changez les formes des découpes dans la feuille cartonnée, essayez de deviner ce que va devenir la forme de la « tache » de lumière lorsque vous allez déplacer la source de lumière, pas seulement verticalement, mais aussi de côté ou en oblique. Il y a de quoi jouer plusieurs soirées de suite, surtout si vous cherchez à imaginer ce que deviendraient des parties de découpes dont la projection lumineuse n’existe plus devant mais dont la projection par la pensée apparaîtrait derrière.
Un deuxième volet de cette démarche sera présentée dans la prochaine Vie de l’école.
